電磁気学

古典電磁気学は、電場と磁場、それらの源、物質に及ぼす力、伝播を記述します。回路 モデルは、部品の寸法が関連する波長に比べて小さい場合にそれらの場を近似します。 高周波の相互接続には電磁場または伝送線路モデルが必要です。電圧と電流がもはや すべての場所で同時に変化しないためです。

電荷、電流、場、力 #

電荷は保存されます。電荷密度 ρ は体積あたりの電荷を表し、電流密度 J は面積 あたりの電荷の流れを表します。局所的な連続の式は次のとおりです。

∂ρ/∂t + ∇ · J = 0

電場 E は、電荷が動いているかどうかにかかわらず電荷へ力を及ぼします。磁場 B は速度に依存する力を与えます。両者を合わせるとローレンツ力になります。

F = q(E + v × B)

磁気項は速度に垂直であるため方向を変えますが、それ自体は力学的仕事をしません。 電気項は電荷へ、または電荷からエネルギーを移動できます。導体では電場が電荷担体を 駆動して電流を生み、物質特性と形状が結果として生じる巨視的抵抗を決めます。

微分形と積分形の Maxwell 方程式 #

Maxwell’s equations in vacuum with sources, using SI units, are:

∇ · E = ρ/ε₀                 ∮ E · dA = Qenclosed/ε₀
∇ · B = 0                    ∮ B · dA = 0
∇ × E = -∂B/∂t              ∮ E · dl = -dΦB/dt
∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t    ∮ B · dl = μ₀I + μ₀ε₀dΦE/dt

微分形は一点での場の振る舞いを記述します。積分形は、閉曲面または閉ループ上の場を、 内部の電荷、電流、変化する磁束と関連付けます。ガウスの電気の法則は電気的発散を 電荷と関連付けます。ガウスの磁気の法則は、古典論では磁束に源も吸い込みもないこと を述べます。ファラデーの法則は循環する電場を変化する磁束と関連付けます。Maxwell の変位電流項を含むアンペールの法則は、循環する磁場を伝導電流と変化する電束に 関連付けます。

積分方程式は、発散定理と Stokes の定理が要求する正則性条件の下で微分方程式から 導かれます。界面の境界条件は、ガウス面またはループを物質境界をまたいで縮小する ことで得られます。その結果、表面電荷と表面電流が特定の場成分に不連続を生じさせる ことがあります。

誘導と電磁波 #

ファラデー誘導は、発電機、変圧器、インダクターを説明します。回路を貫く変化する 磁束は起電力を生みます。

emf = -dΦB/dt

負号はレンツの法則を表します。誘導された応答は、それを生じさせた磁束の変化に 逆らいます。相互誘導は共有磁束を介して回路を結合し、自己誘導は回路の電流変化を 自身に誘導される電圧と関連付けます。

In a source-free, homogeneous vacuum, taking curls of Maxwell’s equations gives:

∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²
∇²B = μ₀ε₀ ∂²B/∂t²

これらの波動方程式は c = 1/√(μ₀ε₀) で伝播します。真空中の平面波では E、B、 伝播方向が互いに垂直です。物質の誘電率、透磁率、導電率は、位相速度、減衰、反射、 分散を変化させます。

Energy, Poynting Flow, and Impedance #

Vacuum electromagnetic energy density is:

u = (ε₀|E|² + |B|²/μ₀) / 2

The Poynting vector gives power flow per area:

S = E × H

Poynting’s theorem balances decreasing field energy with outward energy flux and work performed on charge. The model is useful for circuits because power reaches a load through fields surrounding the conductors rather than by treating electrons as packets that carry energy along the wire at signal velocity.

Wave impedance relates electric and magnetic field magnitudes. In vacuum, Z₀ = √(μ₀/ε₀), approximately 377 ohms. A transmission line instead has a characteristic impedance determined by conductor geometry and material properties. A mismatch causes reflections; matching source, line, and load impedances controls those reflections.

Radiation and Model Limits #

Accelerating charges and time-varying current distributions can radiate. Antenna geometry determines how near fields couple to stored electric and magnetic energy and how far fields carry energy away. A charge moving at constant velocity in an inertial frame does not radiate merely because it moves.

Maxwell’s equations are classical. Special relativity relates electric and magnetic fields between inertial frames, while quantum electrodynamics describes their quantum interaction with matter.