編碼理論

編碼理論描述符號如何表示、傳輸與復原。在軟體系統中，「編碼」可能指壓縮、錯誤碼、線路層級訊號或訊框慣例。這些機制會彼此作用，但解決的是不同問題。

來源編碼與通道編碼 #

來源編碼以資訊內容允許的最少位元來表示來源。無損壓縮器會移除統計冗餘，且必須精確重現原始位元組；有損編解碼器則根據應用程式特定的失真模型捨棄資訊。

通道編碼會在傳輸或儲存前加入結構化冗餘。接收端利用該冗餘偵測資料損毀或修正錯誤。同位元只能偵測部分錯誤模式。重複碼可透過多數決修正錯誤，但會耗用大量頻寬。漢明碼及現代區塊碼或卷積碼能以相同額外負擔提供更實用的距離。

因此，壓縮與通道編碼的位元預算方向相反：

壓縮會減少冗餘，因為它假設通道可靠；
通道編碼會增加冗餘，因為它假設通道有雜訊。

在錯誤更正碼之後套用壓縮器，通常找不到多少冗餘。在壓縮之後套用錯誤更正則有效，因為壓縮後的串流仍需保護。

漢明距離、冗餘與碼率 #

兩個等長位元字串之間的漢明距離，是兩者內容不同的位置數量。區塊碼的最小距離 d 是任兩個有效碼字之間的最小距離。解碼器必定能偵測最多 d - 1 個位元錯誤，而有界距離解碼器最多能修正 floor((d - 1) / 2) 個錯誤。

若編碼將 k 個資訊位元映射為 n 個傳輸位元，其碼率為 R = k/n。其餘 n - k 個位元為冗餘。提高最小距離通常會降低 R，因此實作會選擇符合通道錯誤模型的碼率與解碼器。總和檢查碼或 CRC 也會加入冗餘，但設計目標是偵測而非修正：檢查失敗表示收到的訊息無效，但不會指出原始位元。

線路編碼與轉態行為 #

線路編碼會將位元映射為實體訊號準位或轉態。它會影響時脈回復、頻譜與基線行為；它不會識別訊息邊界，也不會修復位元錯誤。

不歸零（NRZ） #

在 NRZ 準位慣例中，一種位元值會在完整位元週期內選擇一個訊號準位，另一種位元值則選擇另一個準位。因此，連續相同位元不會產生轉態。接收端必須從獨立時脈、富含轉態的編碼，或位元填充等規則中回復時序。

「NRZ」也可描述轉態慣例，而非單一通用映射，因此通訊協定規格必須說明其極性與時序規則。實作不得僅根據名稱推斷映射方式。

反相不歸零（NRZI） #

NRZI 將一種位元值編碼為轉態，另一種編碼為不轉態。USB 採用的常見慣例如下：

輸入位元	訊號行為
`0`	切換準位
`1`	維持先前準位

其他通訊協定會對調位元意義。初始準位確立後，NRZI 不受極性影響，但無法消除長時間沒有轉態的情形：連續的「維持」位元仍需要時脈規則。因此 USB 使用位元填充。NRZI 也不提供訊框、錯誤偵測或錯誤更正。

保持各層分離 #

健全的鏈路可包含以下所有層次：

實體訊號傳遞將位元轉換成電壓、光學符號或轉態。
訊框標示邊界、位址，有時也包含長度欄位。
來源編碼壓縮承載資料。
完整性檢查（例如 CRC）偵測意外變更。
通道編碼加入可供偵測或修正的冗餘。

各層具有不同的失效模式。轉態規則無法判斷訊框結束位置，訊框分隔符無法修正承載資料中翻轉的位元，而壓縮器無法驗證位元組是否在傳輸後保持完整。明確指出層次，可避免將 NRZI、CRC 與霍夫曼碼視為可互換的「編碼」。

參考資料 #

C. E. Shannon，〈通訊的數學理論〉，Bell System Technical Journal，1948。
R. W. Hamming，〈錯誤偵測與錯誤更正碼〉，Bell System Technical Journal，1950。
通用序列匯流排規格 2.0 版，其中關於 NRZI 與位元填充的章節。